Les Étapes de la philosophie mathématique

Bonjour à tous

Alain a écrit:

"Nos idées, par exemple de mathématique, d'astronomie, de physique, sont vraies en deux sens. Elles sont vraies par le succès ; elles donnent puissance dans ce monde des apparences. Elles nous y font maîtres, soit dans l'art d'annoncer, soit dans l'art de modifier selon nos besoins ces redoutables ombres au milieu desquelles nous sommes jetés. Mais, si l'on a bien compris par quels chemins se fait le détour mathématique, il s'en faut de beaucoup que ce rapport a l'objet soit la règle suffisante du bien penser. La preuve selon Euclide n'est jamais d’expérience ; elle ne veut point l’être. Ce qui fait notre géométrie, notre arithmétique, notre analyse, ce n'est pas premièrement qu'elles s'accordent avec l’expérience, mais c'est que notre esprit s'y accorde avec lui-même, selon cet ordre du simple au complexe, qui veut que les premières définitions, toujours maintenues, commandent toute la suite de nos pensées. Et c'est ce qui étonne d'abord le disciple, que ce qui est le premier a comprendre ne soit jamais le plus urgent ni le plus avantageux. L’expérience avait fait découvrir ce qu'il faut de calcul et de géométrie pour vivre, bien avant que la réflexion se fut mise en quête de ces preuves subtiles qui refusent le plus possible l’expérience, et mettent en lumière cet ordre selon l'esprit qui veut se suffire a lui-même. Il faut arriver a dire que ce genre de recherches ne vise point d'abord a cette vérité que le monde confirme, mais a une vérité plus pure, toute d'esprit, ou qui s'efforce d’être telle, et qui dépend seulement du bien penser. "

Philosophe du jugement et du dynamisme de la raison, Léon Brunschvicg
formule dès 1912 ses réticences contre l’entreprise “logistique” :
impossibilité d’une grande logique au sein de laquelle on pourrait être assuré,
parce qu’on pourrait l’y démontrer, de la non-contradiction des mathématiques.

Mathématiciens et logiciens reconnaissent aujourd’hui, depuis Gödel,
les limitations internes auxquelles se heurte l’entreprise de la formalisation :
on ne peut produire le système formel ultime qui, fort de ses seules ressources, démontrerait sa propre consistence.

– La Première Partie («Périodes de constitution») comprend trois Livres :

– Livre I, Arithmétique (L’ethnographie et les premières opérations numériques; Le calcul égyptien; L’arithmétique des pythagoriciens);

– Livre II, Géométrie (Le mathématisme des platoniciens; La naissance de la logique formelle; La géométrie euclidienne; La géométrie analytique; La philosophie mathématique des cartésiens);

– Livre III, Analyse infinitésimale (La découverte du calcul infinitésimal; La philosophie mathématique de Leibniz; L’idéalité mathématique et le réalisme métaphysique). – La Deuxième Partie («Période moderne») regroupe les quatre derniers Livres :

– Livre IV, La philosophie critique et le positivisme (La philosophie mathématique de Kant; La philosophie mathématique d’Auguste Comte; Transformation des bases scientifiques);

– Livre V, L’évolution de l’arithmétique (Le dogmatisme du nombre; Le nominalisme arithmétique);

– Livre VI, Le mouvement logistique (Formation de la philosophie logistique des mathématiques; Dissolution de la philosophie logistique; L’idée de la déduction absolue);

– Livre VII, L’intelligence mathématique et la vérité (La notion moderne de l’intuition; Les racines de la vérité arithmétique; Les racines de la vérité géométrique; Les racines de la vérité algébrique; La réaction contre le mathématisme).

M.-M. V.